1. 연립일차방정식
💡 참고 링크
1.1 중요한 것은 계수!
- 성분(entry) : 행렬을 구성하는 각 수
- Mat~mxn~\((R)\) : 모든 성분이 실수인 mxn 행렬의 집합
- Mat~n~$(R)$ : 모든 성분이 실수인 n차 정사각행렬의 집합
1.2 가우스 소거법
- 사상 : 두 집합 A와 B를 정의할 때, A의 각 원소들이 B의 각 원소에 빠짐없이 대응할 때, 이 관계를 A에서 B로의 사상 이라고 하고, 기호로는
f:A→B라고 한다.
💡 참고 링크 : 사상과 함수
\begin{cases}
2x + 3y = a\
3x + 4y = b\
\end{cases}
이 연립방정식을 변환의 관점에서 생각해보자.
다음과 같은 사상 $f$를 생각해보자. $f: R^2 → R^2, (x, y) ↦ (2x + 3y, 3x + 4y)$
↦ :
f: a↦b는 함수 $f$는 원소 a를 원소 b에 대응시킨다는 것을 의미한다.
위 연립일차방정식의 해를 구한다는 것은 $(a, b) ∈R^2$의 $f$에 대한 역상 $f^{-1}(a, b)$ 를 구하는 것과 같다.
중요한 것은 계수라는 관점에서 생각하면, 사상 $f$ 에 행렬 $\begin{bmatrix}2&3\3&4\ \end{bmatrix}$ 가 대응된다고 할 수 있다.
따라서 위의 연립방정식의 해를 구한다는 것은 역사상인 $f^{-1}$ 에 해당하는 행렬을 구하는 것과 마찬가지이다.
$f ↔ \begin{bmatrix}2&3\3&4\ \end{bmatrix}$ $f^{-1} ↔ \begin{bmatrix}?&?\?&?\ \end{bmatrix}$
↔ : 동치.
역상 : 어떤 함수에 대한 공역의 원소들에 대응하는 정의역의 원소들. (출처
1.4 사상의 합성과 행렬의 곱
1.5 가우스 소거법 다시 보기
- 기본 행렬 : 기본행연산을 나타내는 행렬
💡 참고 링크 : 기본 행렬
1.6 역사상의 행렬 표현
역사상이 존재하려면 1-1 이고 onto가 되어야한다.
- 1-1 : 정의역의 원소 하나에 공역 원소 하나가 대응되는 함수. (전사함수)
- onto : 공역의 모든 원소가 화살표를 받는 함수. (단사함수)
-
1-1 이면서 onto : 일대일 대응, 전단사 함수.
- 항등행렬($I~n~$) : 대각 성분이 모두 1이고 나머지 성분은 모두 0인 행렬
- 역행렬 : $A^{-1}$ 또는 $invA$ 로 나타냄.
- 가역행렬 : 역행렬이 존재하는 행렬
행렬은 지수법칙이 성립한다.
가역인 행렬은 기본행렬의 곱으로 나타낼 수 있다.
💡 해당 포스팅은 8일간의 선형대수학 교재를 통해 학습한 내용을 정리한 글입니다.