2. 행렬식
2.1 역행렬의 존재성
역행렬이 존재 하는지 아닌지를 계수만으로 알아내는 방법 = 행렬식
det$\begin{bmatrix}a&b\c&d\ \end{bmatrix} := ad-bc$
:= : 정의한다.
2.2 행렬식의 기하적 의미
다음과 같이 정의된 사상 $f$ 가 있다고 하자.
$f: R^2 → R^2, (x, y) ↦ (ax + by, cx + dy$
사상 $f$ 는 $R^2$ 위의 점을 $R^2$ 위의 점으로 보내며, 식 자체가 일차식이기 때문에 직선을 직선으로 보낸다.
| 행렬 $\begin{bmatrix}a&b\c&d\ \end{bmatrix}$ 로 나타나는 변환은 넓이 1인 정사각형을 넓이가 $ | ad - bc | $ 인 평행사변형으로 옮긴다. |
같은 원리로 3차 정사각행렬로 나타나는 변환은 부피가 1인 정육면체를 부피가 행렬식 인 평행육면체로 옮긴다.
행렬 A의 행렬식 detA는 다음과 같은 성질을 갖는 함수 $det: Mat~n~ (R) →(R)$ 로 정의된다.
- det(v~1~, v~2~, … , v~i~ + w~i~, v~n~) = det(v~1~, …, v~i~, …, v~n~) + det(v~1~, … , w~i~, … , v~n~)
- det(v~1~, … , kv~i~, …, v~n~) = k det(v~1~, …, v~i~, … , v~n~)
- v~i~ = v~j~ 이면 det(v~1~, … , v~i~, …, , v~j~, …, v~n~) = 0
- det$I$~n~ = 1
-
두 n차 정사각행렬 A와 B에 대하여 다음이 성립한다.
det(AB) = detAdetB -
가역인 정사각행렬 A에 대하여 다음이 성립한다. `det($A^{-1}$) = $\frac{1}{detA}$
2.3 행렬식을 구하는 여러 가지 방법
- 라이프니츠 공식
- 여인수
- 여인수전개 (= 라플라스의 공식)
- 수반행렬
💡 참고 링크 : 행렬식
2.4 야코비 행렬식
다중 적분에서 변수를 치환할 때도 사용된다.
- 가우스 적분 $I$ 값 구하기
- 참고 자료
📌 5.7 공부하고 다시 돌아오기
💡 해당 포스팅은 8일간의 선형대수학 교재를 통해 학습한 내용을 정리한 글입니다.